与えられた式 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ を因数分解して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ を因数分解して簡単にします。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

式を整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - bc^2$

$a$ について整理します。

$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + (b^2c - bc^2)$

$a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくります。

$(b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

括弧の中を因数分解します。

$(b-c)[a^2 - ab - ac + bc] = (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c)$

順番を整理します。

$(a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$