与えられた式 $(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$ を展開し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2$ を展開し、簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2$ を展開する。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

次に、与えられた式を以下のように書き換える。

$(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2-ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

ここで、$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ であることを利用すると、与えられた式は

$(a+b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = (a+b)(a^2-ab+b^2) (a+b)(a^2-ab+b^2)$

となる。

したがって、

$(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2 = (a^3+b^3)(a^3+b^3) = (a^3+b^3)^2$

最後に、$(a^3+b^3)^2$ を展開する。

$(a^3+b^3)^2 = (a^3)^2 + 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

3. 最終的な答え

$a^6 + 2a^3b^3 + b^6$