関数 $y = \sqrt{x+1}$ のグラフと関数 $y = x+k$ のグラフが異なる2つの共有点を持つような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x+1}$ のグラフと関数 $y = x+k$ のグラフが異なる2つの共有点を持つような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つのグラフの共有点の$x$座標は、方程式 $\sqrt{x+1} = x+k$ の実数解として得られます。

この方程式を解くために、両辺を2乗します。

$$x+1 = (x+k)^2$$

$$x+1 = x^2 + 2kx + k^2$$

$$x^2 + (2k-1)x + (k^2-1) = 0$$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$$D = (2k-1)^2 - 4(k^2-1) > 0$$

$$4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 4 > 0$$

$$-4k + 5 > 0$$

$$4k < 5$$

$$k < \frac{5}{4}$$

しかし、2乗する際に同値性が崩れている可能性があるため、解の吟味が必要です。$x+k \ge 0$の条件を確認する必要があります。

判別式が正である条件に加えて、$y = \sqrt{x+1}$ のグラフの定義域は $x \ge -1$ であることを考慮します。また、$y = \sqrt{x+1}$ は $y \ge 0$ であることに注意します。

$x=-1$ のとき、$y = \sqrt{-1+1} = 0$ となります。この点を直線 $y = x+k$ が通るとき、$0 = -1+k$ より、$k = 1$ となります。

$x > -1$ で2つの共有点を持つためには、$k > 1$ である必要があります。

さらに、$y = \sqrt{x+1}$ と $y = x+k$ のグラフが接する場合を考えます。このとき、判別式 $D = 0$ となり、$k = \frac{5}{4}$ となります。このとき、$x = \frac{1}{2} - k = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4} > -1$ が成立します。

したがって、$k < \frac{5}{4}$ となる必要があります。

よって、$1 \le k < \frac{5}{4}$ の範囲となります。

3. 最終的な答え

$1 \le k < \frac{5}{4}$