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与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解する問題です。

代数学因数分解式の展開恒等式多項式
2025/5/12

1. 問題の内容

与えられた式 (a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、x=a−bx = a-b, y=b−cy = b-c, z=c−az = c-a とおきます。
すると、x+y+z=(a−b)+(b−c)+(c−a)=a−b+b−c+c−a=0x + y + z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0 となります。
ここで、x+y+z=0x+y+z=0 のとき、x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz が成り立つことを利用します。
この公式を用いると、
(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3=3(a−b)(b−c)(c−a)(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) となります。

3. 最終的な答え

3(a−b)(b−c)(c−a)3(a-b)(b-c)(c-a)

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