与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$a$ についての多項式として整理します。

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = a^3(b-c) - a(b^3-c^3) + bc(b^2-c^2)$

$= a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b-c)(b+c)$

$=(b-c)[a^3 - a(b^2+bc+c^2) + bc(b+c)]$

$=(b-c)[a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2c + bc^2]$

$=(b-c)[a^3 - ab^2 - ac^2 + b^2c + bc^2 - abc]$

ここで、$a = b$ を代入してみると、

$(b-c)[b^3 - b^3 - bc^2 + b^2c + bc^2 - b^2c] = (b-c) \cdot 0 = 0$

したがって、$a-b$ は因数となります。同様に、$a=c$ を代入してみると、

$(b-c)[c^3 - cb^2 - c^3 + b^2c + bc^2 - bc^2] = (b-c) \cdot 0 = 0$

したがって、$a-c$ も因数となります。よって、$a-b$, $a-c$, $b-c$ を因数に持つことがわかります。

次に、$a^3$ の係数が $b-c$ なので、残りの因数は $a$ に関する1次式で $- (a-b)(a-c)(b-c)$ を展開すると、$a^2, a^3$ の項が現れるので、定数項は $- (a-b)(a-c)$ と予想されます。

したがって、

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$