数列$\{b_n\}$において、$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{2(n+1)-1}}{3^{2n-1}}$が与えられています。この比を計算し、その結果が定数であることを示し、その値を求めます。

1. 問題の内容

数列$\{b_n\}$において、$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{2(n+1)-1}}{3^{2n-1}}$が与えられています。この比を計算し、その結果が定数であることを示し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{b_{n+1}}{b_n}$を計算します。

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{2(n+1)-1}}{3^{2n-1}}$

指数の法則を使って、割り算を指数の引き算に変換します。

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = 3^{(2(n+1)-1) - (2n-1)}$

次に、指数部分を簡略化します。

$2(n+1) - 1 - (2n - 1) = 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2n - 2n + 2 - 1 + 1 = 2$

したがって、

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = 3^2$

$3^2 = 9$

したがって、数列$\{b_n\}$の隣り合う項の比は9で一定です。

3. 最終的な答え

9