与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 5y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 2x - 5y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3y - 2)x + (2y^2 - 5y - 3)$

次に、定数項 $2y^2 - 5y - 3$ を因数分解します。

$2y^2 - 5y - 3 = (2y + 1)(y - 3)$

元の式は

$x^2 + (3y - 2)x + (2y + 1)(y - 3)$

これを $(x + A)(x + B)$ の形に因数分解することを考えます。

ここで、$A + B = 3y - 2$ であり、$AB = (2y + 1)(y - 3)$ です。

$A$ と $B$ を $2y + 1$ と $y - 3$ とすると、

$A + B = (2y + 1) + (y - 3) = 3y - 2$

となり条件を満たします。

したがって、因数分解は次のようになります。

$x^2 + (3y - 2)x + (2y + 1)(y - 3) = (x + 2y + 1)(x + y - 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x + y - 3)$