与えられた3次式 $x^3 + 4x^2 + 2x - 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + 4x^2 + 2x - 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた3次式を $P(x) = x^3 + 4x^2 + 2x - 4$ とおきます。

まず、整数解を探索します。定数項 $-4$ の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ について $P(x)$ の値を計算します。

$P(1) = 1 + 4 + 2 - 4 = 3 \neq 0$

$P(-1) = -1 + 4 - 2 - 4 = -3 \neq 0$

$P(2) = 8 + 16 + 4 - 4 = 24 \neq 0$

$P(-2) = -8 + 16 - 4 - 4 = 0$

したがって、$x = -2$ は $P(x) = 0$ の解の一つなので、$P(x)$ は $x+2$ を因数に持ちます。

筆算または組み立て除法を用いて $P(x)$ を $x+2$ で割ると、

$x^3 + 4x^2 + 2x - 4 = (x+2)(x^2 + 2x - 2)$

となります。

次に、$x^2 + 2x - 2$ を因数分解します。これは二次方程式 $x^2 + 2x - 2 = 0$ の解を求めれば良いので、解の公式を利用します。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 + 2x - 2 = (x - (-1 + \sqrt{3}))(x - (-1 - \sqrt{3})) = (x + 1 - \sqrt{3})(x + 1 + \sqrt{3})$

よって、

$x^3 + 4x^2 + 2x - 4 = (x+2)(x^2 + 2x - 2) = (x+2)(x + 1 - \sqrt{3})(x + 1 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$(x+2)(x^2+2x-2)$

または

$(x+2)(x+1-\sqrt{3})(x+1+\sqrt{3})$