100から999までの自然数について、以下の問いに答えます。 (1) 9と12の少なくとも一方で割り切れる数は何個あるか。 (2) 9で割り切れるが12では割り切れない数は何個あるか。 (3) 9でも12でも割り切れない数は何個あるか。

1. 問題の内容

100から999までの自然数について、以下の問いに答えます。

(1) 9と12の少なくとも一方で割り切れる数は何個あるか。

(2) 9で割り切れるが12では割り切れない数は何個あるか。

(3) 9でも12でも割り切れない数は何個あるか。

2. 解き方の手順

まず、100から999までの自然数の個数を求めます。

$999 - 100 + 1 = 900$ 個

(1) 9と12の少なくとも一方で割り切れる数を求めます。

9で割り切れる数をA、12で割り切れる数をBとします。求めるのは$n(A \cup B)$です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

9で割り切れる数：

100以上で最初の9の倍数は $9 \times 12 = 108$

999以下で最後の9の倍数は $9 \times 111 = 999$

したがって、9の倍数は $111 - 12 + 1 = 100$ 個

12で割り切れる数：

100以上で最初の12の倍数は $12 \times 9 = 108$

999以下で最後の12の倍数は $12 \times 83 = 996$

したがって、12の倍数は $83 - 9 + 1 = 75$ 個

9と12の公倍数（最小公倍数は36）で割り切れる数：

100以上で最初の36の倍数は $36 \times 3 = 108$

999以下で最後の36の倍数は $36 \times 27 = 972$

したがって、36の倍数は $27 - 3 + 1 = 25$ 個

$n(A \cup B) = 100 + 75 - 25 = 150$

(2) 9で割り切れるが12では割り切れない数を求めます。

9で割り切れる数から、9と12の公倍数（36の倍数）を引きます。

$100 - 25 = 75$

(3) 9でも12でも割り切れない数を求めます。

全体の数から、9と12の少なくとも一方で割り切れる数を引きます。

$900 - 150 = 750$

3. 最終的な答え

(1) 150個

(2) 75個

(3) 750個