次の式を計算せよ。 $\frac{1}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}}$

1. 問題の内容

次の式を計算せよ。

$\frac{1}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の式を簡単にするために、$a = \sqrt[3]{5}$、$b = \sqrt[3]{2}$ とおく。

すると、分母は次のようになる。

$\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4} = a^2 - ab + b^2$

次に、この式に $(a+b)$ を掛けることを考える。

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$

$a = \sqrt[3]{5}$、$b = \sqrt[3]{2}$ なので、

$a^3 = 5$、$b^3 = 2$

したがって、$a^3 + b^3 = 5 + 2 = 7$

つまり、$\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}$ に $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})$ を掛けると $7$ になる。

よって、与えられた式の分母と分子に $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})$ を掛けると、

$\frac{1}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}{5 + 2} = \frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}{7}$