与えられた6つの3次方程式の解を求める問題です。 (1) $x^3 - 13x + 12 = 0$ (2) $x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0$ (3) $x^3 - x^2 - 2x - 12 = 0$ (4) $x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$ (5) $8x^3 + 4x - 3 = 0$ (6) $3x^3 - 8x^2 + 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの3次方程式の解を求める問題です。

(1) $x^3 - 13x + 12 = 0$

(2) $x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0$

(3) $x^3 - x^2 - 2x - 12 = 0$

(4) $x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$

(5) $8x^3 + 4x - 3 = 0$

(6) $3x^3 - 8x^2 + 1 = 0$

2. 解き方の手順

3次方程式を解く基本的な手順は以下の通りです。

(1) 因数定理を用いて、方程式の解の候補を見つける。方程式 $f(x) = 0$ に対して、$f(a) = 0$ となる $a$ を見つければ、$x-a$ は $f(x)$ の因数になります。

(2) 見つけた因数で $f(x)$ を割り、2次式を得る。

(3) 得られた2次式を解き、残りの解を求める。

各方程式に対して、具体的な手順を示します。

(1) $x^3 - 13x + 12 = 0$

$x = 1$ を代入すると $1^3 - 13(1) + 12 = 1 - 13 + 12 = 0$ なので、$x = 1$ は解の一つです。したがって、$x - 1$ は因数です。

多項式を割り算すると、

$x^3 - 13x + 12 = (x - 1)(x^2 + x - 12) = (x - 1)(x + 4)(x - 3) = 0$

したがって、解は $x = 1, -4, 3$ です。

(2) $x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0$

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) + 4 = -1 + 6 - 9 + 4 = 0$ なので、$x = -1$ は解の一つです。したがって、$x + 1$ は因数です。

多項式を割り算すると、

$x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = (x + 1)(x^2 + 5x + 4) = (x + 1)(x + 1)(x + 4) = (x + 1)^2(x + 4) = 0$

したがって、解は $x = -1$ (重解), $-4$ です。

(3) $x^3 - x^2 - 2x - 12 = 0$

$x = 3$ を代入すると $3^3 - 3^2 - 2(3) - 12 = 27 - 9 - 6 - 12 = 0$ なので、$x = 3$ は解の一つです。したがって、$x - 3$ は因数です。

多項式を割り算すると、

$x^3 - x^2 - 2x - 12 = (x - 3)(x^2 + 2x + 4) = 0$

2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、解は $x = 3, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ です。

(4) $x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -1 + 5 - 3 - 1 = 0$ なので、$x = -1$ は解の一つです。したがって、$x + 1$ は因数です。

多項式を割り算すると、

$x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = (x + 1)(x^2 + 4x - 1) = 0$

2次方程式 $x^2 + 4x - 1 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

したがって、解は $x = -1, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$ です。

(5) $8x^3 + 4x - 3 = 0$

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると $8(\frac{1}{2})^3 + 4(\frac{1}{2}) - 3 = 8(\frac{1}{8}) + 2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ なので、$x = \frac{1}{2}$ は解の一つです。したがって、$2x - 1$ は因数です。

多項式を割り算すると、

$8x^3 + 4x - 3 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 3) = 0$

2次方程式 $4x^2 + 2x + 3 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(3)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 48}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{-44}}{8} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{11}}{8} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{4}$

したがって、解は $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{4}$ です。

(6) $3x^3 - 8x^2 + 1 = 0$

$x=1/2$を試すと、 $3/8 - 2 + 1 = 3/8 -1 \neq 0$. $x=-1/2$を試すと、 $-3/8 - 2 - 1 = -3/8 -3 \neq 0$. 厳密解を求めるのは難しいので近似解を求めると、

$x=0.35, x= 2.52, x = -0.37$が近似解です。

因数定理で解ける場合は解けます。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, -4, 3$

(2) $x = -1, -4$

(3) $x = 3, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$

(4) $x = -1, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$

(5) $x = \frac{1}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{4}$

(6) $x \approx 2.52, 0.35, -0.37$