与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $x=1$ を代入すると、それぞれ $1 - 2 + 1 = 0$ と $1 - 3 + 2 = 0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形となるため、因数分解をして約分します。

分子 $x^3 - 2x^2 + 1$ は $x=1$ で $0$ になるので、$x-1$ を因数に持ちます。組み立て除法を用いると、

$x^3 - 2x^2 + 1 = (x-1)(x^2 - x - 1)$

と因数分解できます。

分母 $x^2 - 3x + 2$ も $x=1$ で $0$ になるので、$x-1$ を因数に持ちます。因数分解すると、

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

となります。

したがって、

$\frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x-1)(x^2 - x - 1)}{(x-1)(x-2)}$

$x \neq 1$ のとき、$(x-1)$ で約分できるので、

$\frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$

$x = 1$ を代入すると、

$\frac{1^2 - 1 - 1}{1 - 2} = \frac{-1}{-1} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

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