$x = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ のとき、 $\frac{1}{x+y}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ のとき、 $\frac{1}{x+y}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + y$を計算します。

$x + y = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

通分して計算します。

$x + y = \frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}$

$x + y = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$x + y = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3}$

$x + y = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

$x + y = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{2}}$

$x + y = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$x + y = \frac{\sqrt{2} + 2}{2}$

次に、$\frac{1}{x+y}$を計算します。

$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

$\frac{1}{x + y} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$\frac{1}{x + y} = \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}$

$\frac{1}{x + y} = \frac{\sqrt{2} - 2}{1 - 2}$

$\frac{1}{x + y} = \frac{\sqrt{2} - 2}{-1}$

$\frac{1}{x + y} = 2 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{2}$