数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = (n+2)a_n + n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) で定められています。このとき、$b_n = \frac{a_n}{(n+1)!}$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の漸化式を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = (n+2)a_n + n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) で定められています。このとき、$b_n = \frac{a_n}{(n+1)!}$ で定義される数列 $\{b_n\}$ の漸化式を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = (n+2)a_n + n!$ を利用して、$b_n$ の漸化式を導出します。まず、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表すことを目指します。$b_n$ の定義から、

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{(n+2)!}$

です。ここで、$a_{n+1} = (n+2)a_n + n!$ を代入します。

$b_{n+1} = \frac{(n+2)a_n + n!}{(n+2)!}$

この式を整理します。

$b_{n+1} = \frac{(n+2)a_n}{(n+2)!} + \frac{n!}{(n+2)!}$

$b_{n+1} = \frac{a_n}{(n+1)!} + \frac{n!}{(n+2)(n+1)n!}$

$b_{n+1} = \frac{a_n}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{(n+1)!}$ を代入します。

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{(n+2)(n+1)}$

$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ を部分分数分解すると、

$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

したがって、

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

3. 最終的な答え

数列 $\{b_n\}$ の漸化式は、

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

となります。