複素数の等式が与えられたとき、それらの等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 (1) $5x - 4i = 5 + 2yi$ (2) $(3x + y) + (y + 6)i = 0$ (3) $(2 + 3i)x + (3 - 2i)y = 8 - i$

1. 問題の内容

複素数の等式が与えられたとき、それらの等式を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める問題です。具体的には以下の3つの問題があります。

(1) $5x - 4i = 5 + 2yi$

(2) $(3x + y) + (y + 6)i = 0$

(3) $(2 + 3i)x + (3 - 2i)y = 8 - i$

2. 解き方の手順

複素数の等式 $a + bi = c + di$ が成り立つための必要十分条件は $a = c$ かつ $b = d$ です。これを利用して、各問題の式を実部と虚部に分けて、実数 $x$ と $y$ に関する連立方程式を立て、それを解きます。

(1) $5x - 4i = 5 + 2yi$ より、実部と虚部を比較すると、

$5x = 5$ かつ $-4 = 2y$

これらの式を解くと、

$x = 1$

$y = -2$

(2) $(3x + y) + (y + 6)i = 0$ より、実部と虚部を比較すると、

$3x + y = 0$ かつ $y + 6 = 0$

これらの式を解くと、

$y = -6$

$3x - 6 = 0$ より $3x = 6$ なので $x = 2$

(3) $(2 + 3i)x + (3 - 2i)y = 8 - i$ を展開すると、

$2x + 3xi + 3y - 2yi = 8 - i$

実部と虚部に分けると、

$(2x + 3y) + (3x - 2y)i = 8 - i$

実部と虚部を比較すると、

$2x + 3y = 8$

$3x - 2y = -1$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式を2倍、2つ目の式を3倍すると、

$4x + 6y = 16$

$9x - 6y = -3$

2つの式を足すと、

$13x = 13$

$x = 1$

$2(1) + 3y = 8$ より $3y = 6$ なので $y = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$, $y = -2$

(2) $x = 2$, $y = -6$

(3) $x = 1$, $y = 2$