$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-5$, $xyz=2$のとき、$x^2+y^2+z^2$と$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$の値を求める。

承知しました。問題８、９、１０、１１、１２について解答します。

**問題８**

1. 問題の内容

$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-5$, $xyz=2$のとき、$x^2+y^2+z^2$と$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2+y^2+z^2$の値を求める。

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$より、

$0^2 = x^2+y^2+z^2+2(-5)$

$x^2+y^2+z^2 = 10$

次に、$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$の値を求める。

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)$より、

$(-5)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(2)(0)$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 25$

3. 最終的な答え

$x^2+y^2+z^2 = 10$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 25$

**問題９**

1. 問題の内容

$\sqrt{28}+\sqrt{300}$の整数の部分を$a$、小数の部分を$b$とするとき、$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{a-b-1}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{28}$と$\sqrt{300}$の値を考える。

$\sqrt{28}$は約$5.29$、$\sqrt{300}$は約$17.32$である。

よって、$\sqrt{28}+\sqrt{300}$は約$22.61$。

したがって、$a=22$となる。

$b = (\sqrt{28}+\sqrt{300})-22$

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{a-b-1}=\frac{1}{22+(\sqrt{28}+\sqrt{300})-22+1}+\frac{1}{22-(\sqrt{28}+\sqrt{300})-1+22}=\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{300}+1}+\frac{1}{43-(\sqrt{28}+\sqrt{300})}$

$\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{300}+1}+\frac{1}{43-(\sqrt{28}+\sqrt{300})}=\frac{43-(\sqrt{28}+\sqrt{300})+(\sqrt{28}+\sqrt{300}+1)}{(\sqrt{28}+\sqrt{300}+1)(43-(\sqrt{28}+\sqrt{300}))}=\frac{44}{(\sqrt{28}+\sqrt{300}+1)(43-(\sqrt{28}+\sqrt{300}))}$

$\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$、$\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$より、$\sqrt{28}+\sqrt{300}+1 = 2\sqrt{7}+10\sqrt{3}+1$、$43-(\sqrt{28}+\sqrt{300}) = 43-(2\sqrt{7}+10\sqrt{3})$

$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1} = \frac{44}{43(1+2\sqrt{7}+10\sqrt{3})-(1+2\sqrt{7}+10\sqrt{3})^2}$

$\frac{1}{\sqrt{28} + \sqrt{300}+1} + \frac{1}{43-\sqrt{28} - \sqrt{300}} = \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{a-b-1}=\frac{1}{23+\sqrt{28}+\sqrt{300}-22} + \frac{1}{21-\sqrt{28}-\sqrt{300}} = \frac{1}{(\sqrt{28}+\sqrt{300})+1} + \frac{1}{21-(\sqrt{28}+\sqrt{300})} = \frac{22}{(\sqrt{28}+\sqrt{300})+1} = \frac{44}{(22.610)^2+43*22.610+1} = \frac{1}{11}$

$a+b+1=23+(\sqrt{28}+\sqrt{300})-22 = 1+\sqrt{28}+\sqrt{300}$

$a-b-1=21-(\sqrt{28}+\sqrt{300})-22 = -1-(\sqrt{28}+\sqrt{300})$

$\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{a-b-1} = \frac{2a}{(a+1)(a-1)} = \frac{22+22}{21}$

最終的に１／11となる

3. 最終的な答え

$\frac{1}{11}$

**問題１０**

1. 問題の内容

連立不等式$\begin{cases}7x-5>13-2x \\ x+a \ge 3x+5\end{cases}$を満たす整数$x$がちょうど5個存在するとき、定数$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

$7x-5>13-2x$より、$9x>18$、$x>2$

$x+a\ge 3x+5$より、$-2x\ge 5-a$、$x\le \frac{a-5}{2}$

したがって、$2<x\le \frac{a-5}{2}$を満たす整数$x$がちょうど5個存在する。

$x$は整数なので、$3, 4, 5, 6, 7$が解となる。

よって、$7\le \frac{a-5}{2} < 8$

$14\le a-5 < 16$

$19\le a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \le a < 21$

**問題１１**

1. 問題の内容

AさんとBさん合わせて52本のボールペンを持っている。AさんがBさんに自分のボールペンのちょうど$\frac{1}{3}$をあげてもまだAさんの方が多く、さらに3本あげるとBさんの方が多くなる。Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を求める。

2. 解き方の手順

Aさんが初めに持っていた本数を$x$とすると、Bさんが持っていた本数は$52-x$となる。

AさんがBさんに$\frac{1}{3}x$本あげると、Aさんの本数は$x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x$、Bさんの本数は$52-x+\frac{1}{3}x=52-\frac{2}{3}x$となる。

このとき、Aさんの方が多いので、$\frac{2}{3}x>52-\frac{2}{3}x$、$\frac{4}{3}x>52$、$x>39$

さらに3本あげるとBさんの方が多くなるので、$\frac{2}{3}x-3<52-\frac{2}{3}x+3$、$\frac{2}{3}x-3<55-\frac{2}{3}x$、$\frac{4}{3}x<58$、$x<\frac{58\cdot 3}{4}=43.5$

また、AさんがBさんに自分のボールペンを1/3あげるときに割り切れる必要があるので、ｘは3の倍数。

以上より、$39<x<43.5$を満たす3の倍数は$42$。

3. 最終的な答え

42本

**問題１２**

(1) $|x-7|+|x-8|<3$

1. 問題の内容

$|x-7|+|x-8|<3$を解く。

2. 解き方の手順

場合分けを行う。

i) $x<7$のとき、$-(x-7)-(x-8)<3$、$-2x+15<3$、$-2x<-12$、$x>6$。したがって、$6<x<7$

ii) $7\le x\le 8$のとき、$x-7-(x-8)<3$、$1<3$。常に成立するので、$7\le x\le 8$

iii) $x>8$のとき、$x-7+x-8<3$、$2x-15<3$、$2x<18$、$x<9$。したがって、$8<x<9$

以上より、$6<x<9$

3. 最終的な答え

$6 < x < 9$

(2) $|2x+1|\le |2x-1|+x$

1. 問題の内容

$|2x+1|\le |2x-1|+x$を解く。

2. 解き方の手順

場合分けを行う。

i) $x < -\frac{1}{2}$のとき、$-2x-1 \le -2x+1+x$、$x\ge -2$。したがって、$-2 \le x < -\frac{1}{2}$

ii) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$のとき、$2x+1 \le -2x+1+x$、$3x\le 0$、$x \le 0$。したがって、$-\frac{1}{2}\le x \le 0$

iii) $x \ge \frac{1}{2}$のとき、$2x+1 \le 2x-1+x$、$x\ge 2$。したがって、$x\ge 2$

以上より、$[-2,\frac{1}{2}]$およびx>=2なので−２<=x<=0 および　x>=2

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le 0$, $x\ge 2$