AさんとBさんの持っているボールペンの合計は52本です。AさんがBさんに自分が持っているボールペンのちょうど$\frac{1}{3}$をあげても、まだAさんの方が多く、さらに3本あげるとBさんの方が多くなります。Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を求めます。

1. 問題の内容

AさんとBさんの持っているボールペンの合計は52本です。AさんがBさんに自分が持っているボールペンのちょうど$\frac{1}{3}$をあげても、まだAさんの方が多く、さらに3本あげるとBさんの方が多くなります。Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を$x$本とします。

すると、Bさんが初めに持っていたボールペンの本数は$52 - x$本となります。

AさんがBさんに$\frac{1}{3}x$本をあげたとき、Aさんのボールペンの本数は$x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$本になり、Bさんのボールペンの本数は$52 - x + \frac{1}{3}x = 52 - \frac{2}{3}x$本になります。

このとき、Aさんの方がまだ多いので、

$$\frac{2}{3}x > 52 - \frac{2}{3}x$$

さらに3本あげるとBさんの方が多くなるので、

$$\frac{2}{3}x - 3 \leq 52 - \frac{2}{3}x + 3$$

これらの不等式を解きます。

最初の不等式：

$\frac{2}{3}x > 52 - \frac{2}{3}x$

$\frac{4}{3}x > 52$

$4x > 156$

$x > 39$

2番目の不等式：

$\frac{2}{3}x - 3 \leq 52 - \frac{2}{3}x + 3$

$\frac{4}{3}x \leq 58$

$4x \leq 174$

$x \leq \frac{174}{4} = 43.5$

したがって、$39 < x \leq 43.5$となります。$x$は整数なので、$x = 40, 41, 42, 43$のいずれかです。

次に、Aさんが$\frac{1}{3}x$本をあげられるためには、$x$が3の倍数である必要があります。

したがって、$x$は42しかありえません。

$x=42$の場合、AさんはBさんに$\frac{1}{3} \times 42 = 14$本をあげます。

Aさんは$42 - 14 = 28$本、Bさんは$52 - 42 + 14 = 10 + 14 = 24$本となります。このときAさんの方が多くなっています。

さらに3本あげると、Aさんは$28 - 3 = 25$本、Bさんは$24 + 3 = 27$本となり、Bさんの方が多くなります。

3. 最終的な答え

42本