整式 $x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割ったときの商を $Q(x)$, 余りを $ax + b$ とすると、

$$x^{2011} = (x^2 + 1)Q(x) + ax + b$$

が成り立つ。

$x^2 + 1 = 0$ の解は $x = i$ と $x = -i$ である（ただし $i$ は虚数単位で、$i^2 = -1$）。

$x = i$ を代入すると、

$$i^{2011} = (i^2 + 1)Q(i) + ai + b$$

$$i^{2011} = 0 \cdot Q(i) + ai + b$$

$$i^{2011} = ai + b$$

ここで、$2011 = 4 \cdot 502 + 3$ であるから、$i^{2011} = i^{4 \cdot 502 + 3} = (i^4)^{502} \cdot i^3 = 1^{502} \cdot (-i) = -i$。

したがって、

$$-i = ai + b$$

実部と虚部を比較すると、

$$a = -1, \quad b = 0$$

したがって、求める余りは $-x$。

3. 最終的な答え

$-x$