(1) 平面上の点 $P$ を直線 $y=x$ に関して対称な点 $P'$ に移す線形変換を表す行列を求めます。 (2) 空間内の点 $P$ を平面 $z=y$ に関して対称な点 $P'$ に移す線形変換を表す行列を求めます。 (3) 式 $(*)$ が成り立つことを確認します。（問題文に式(*)が明示されていないため、解くことはできません。） (4) 与えられたベクトルをそれぞれある空間内の線形変換で移す行列を求めます。ベクトルの組と変換先のベクトルの組が与えられているので、線形変換を表す行列を求めます。

1. 問題の内容

(1) 平面上の点 $P$ を直線 $y=x$ に関して対称な点 $P'$ に移す線形変換を表す行列を求めます。

(2) 空間内の点 $P$ を平面 $z=y$ に関して対称な点 $P'$ に移す線形変換を表す行列を求めます。

(3) 式 $(*)$ が成り立つことを確認します。（問題文に式(*)が明示されていないため、解くことはできません。）

(4) 与えられたベクトルをそれぞれある空間内の線形変換で移す行列を求めます。ベクトルの組と変換先のベクトルの組が与えられているので、線形変換を表す行列を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y=x$ に関する対称変換

点 $P(x, y)$ が直線 $y=x$ に関して対称な点 $P'(x', y')$ は、$x' = y$、$y' = x$ となります。よって、変換は

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

で表されます。したがって、求める行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ です。

(2) 平面 $z=y$ に関する対称変換

点 $P(x, y, z)$ が平面 $z=y$ に関して対称な点 $P'(x', y', z')$ は、$x' = x$、$y' = z$、$z' = y$ となります。よって、変換は

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

で表されます。したがって、求める行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ です。

(3) 問題文に式(*)が明示されていないため、解くことはできません。

(4) 線形変換を表す行列を求める

与えられたベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ に移されるとします。この線形変換を表す行列を $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ とすると、以下の式が成り立ちます。

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

これらの式から、

$a + 2b + c = 2$

$d + 2e + f = 1$

$g + 2h + i = 0$

$2b + 2c = 1$

$2e + 2f = -2$

$2h + 2i = 2$

$-2a + c = 0$

$-2d + f = 2$

$-2g + i = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$c = 2a$

$f = 2d + 2$

$i = 2g + 1$

$2b + 4a = 1 \implies b = \frac{1}{2} - 2a$

$2e + 4d + 4 = -2 \implies e = -1 - 2d$

$2h + 4g + 2 = 2 \implies h = -2g$

$a + 1 - 4a + 2a = 2 \implies -a = 1 \implies a = -1$

$d - 2 - 4d + 2d + 2 = 1 \implies -d = 1 \implies d = -1$

$g - 4g + 4g + 2 = 0 \implies g = -2$

$a = -1, b = \frac{5}{2}, c = -2$

$d = -1, e = 1, f = 0$

$g = -2, h = 4, i = -3$

したがって、求める行列は

$A = \begin{pmatrix} -1 & \frac{5}{2} & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 解答不可（式(*)が不明）

(4) $\begin{pmatrix} -1 & \frac{5}{2} & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$