曲線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 2x$ と $x$ 軸との交点を求めます。$x$ 軸との交点は、$y=0$ のときなので、

$$-x^2 + 2x = 0$$

$$x(-x + 2) = 0$$

したがって、$x = 0, 2$ となります。

次に、積分を使って面積を求めます。$x=0$ から $x=2$ の範囲で、$y = -x^2 + 2x$ を積分します。

$$S = \int_0^2 (-x^2 + 2x) dx$$

$$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_0^2$$

$$S = \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 \right)$$

$$S = -\frac{8}{3} + 4$$

$$S = \frac{-8 + 12}{3}$$

$$S = \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$S = \frac{4}{3}$