問題は2つあります。 1. $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$を求めよ。

2. $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$, $(0 < \theta < 1)$ である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を計算します。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ なので、$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to +\infty$ のとき、$t \to 0$ となり、

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log\left(\frac{1-t}{1+t}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$

$\log(1+x)$ のテイラー展開 $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{( -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots ) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots )}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = \lim_{t \to 0} (-2 - \frac{2t^2}{3} - \dots) = -2$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{-1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1-t-1+t}{1-t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{-2}{1-t^2} = -2$

(2) 次に、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めます。$x=\frac{1}{3}$を代入します。$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$.

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} (\frac{1}{3})^{2\ell+1} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{n\pi}{2})}{n!} (\frac{1}{3})^n$.

$n=3$のとき、$\sin x = \frac{x^1}{1!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6} (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6} (\frac{1}{27}) = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162}$.

$0 < \theta < 1$ より，$|\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162}| < \frac{1}{162} < 0.0062$.

$n=5$のとき、$\sin x = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^3 + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120} (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120} (\frac{1}{243}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} = 0.3333 - 0.00617 = 0.32716$

$|\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}| < \frac{1}{29160} < 0.000034$

$n=7$のとき、$\sin x = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{7\pi}{2})}{7!} x^7$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160 * 7} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{7\pi}{2})}{5040} (\frac{1}{3})^7 = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{7\pi}{2})}{5040*2187} (\frac{1}{3})^7 = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3})}{5040*2187}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} = 0.33333 - 0.00617 + 0.0000343 = 0.3271976 \approx 0.3272$.

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$