2次関数 $y = x^2 + 2x - 2$ のグラフが下に凸であるとき、不等式 $x^2 + 2x - 2 < 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x - 2$ のグラフが下に凸であるとき、不等式 $x^2 + 2x - 2 < 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $x^2 + 2x - 2 < 0$ を解くために、まず、$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解を求めます。これは2次方程式なので、解の公式を使うことができます。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

今回の場合は、$a = 1$, $b = 2$, $c = -2$ なので、解の公式に代入すると、

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$$

となります。したがって、$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解は、$x = -1 - \sqrt{3}$ と $x = -1 + \sqrt{3}$ です。

$y = x^2 + 2x - 2$ のグラフは下に凸なので、$x^2 + 2x - 2 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解の間になります。

したがって、不等式 $x^2 + 2x - 2 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、 $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$