与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、$a_n = n^2 + (a)n + (1)$ の形式になるように、(a)に当てはまる数字を答えます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、$a_n = n^2 + (a)n + (1)$ の形式になるように、(a)に当てはまる数字を答えます。

2. 解き方の手順

与えられた数列の差を計算します。

$a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$

$a_3 - a_2 = 12 - 6 = 6$

$a_4 - a_3 = 20 - 12 = 8$

$a_5 - a_4 = 30 - 20 = 10$

$a_6 - a_5 = 42 - 30 = 12$

差が等差数列になっていることから、元の数列は2次式で表せると考えられます。

$a_n = n^2 + (a)n + (1)$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 1 + (a) + 1 = 2 + (a)$ となり、$a_1 = 2$ なので、 $2 = 2 + (a)$ より $(a) = 0$となります。このとき、$a_n = n^2 + 1$となります。

$a_n = n^2 + (a)n + (1)$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 1^2 + (a)(1) + (1) = 2 + a = 2$ となり、 $a = 0$ が得られます。

このとき、 $a_n = n^2 + 0n + 1 = n^2 + 1$

$n=1: a_1 = 1^2 + 1 = 2$

$n=2: a_2 = 2^2 + 1 = 5$

$n=3: a_3 = 3^2 + 1 = 10$

これは与えられた数列と一致しません。

数列の一般項を$a_n = An^2 + Bn + C$とおきます。

$a_1 = A + B + C = 2$

$a_2 = 4A + 2B + C = 6$

$a_3 = 9A + 3B + C = 12$

$a_2 - a_1 = 3A + B = 4$

$a_3 - a_2 = 5A + B = 6$

$(5A+B) - (3A+B) = 2A = 2$

$A = 1$

$3(1) + B = 4$

$B = 1$

$1 + 1 + C = 2$

$C = 0$

よって、$a_n = n^2 + n = n(n+1)$.

$a_n = n^2 + n = n^2 + (a)n + (1)$

両辺を比較して、$a=1, 1=0$.

したがって、$a_n = n^2 + n$と表すことができます。ここで $a_n = n^2 + (a)n + (1)$の形にしたいので、$n^2 + n = n^2 + an + 1$とすると、$n = an+1$となる。これを満たす$a$は存在しない。

与えられた数列の$a_n = n^2$からの差を計算すると

$n=1: 2 - 1 = 1$

$n=2: 6 - 4 = 2$

$n=3: 12 - 9 = 3$

$n=4: 20 - 16 = 4$

$n=5: 30 - 25 = 5$

$n=6: 42 - 36 = 6$

となるので、$a_n = n^2 + n$.

$n^2 + n = n^2 + n + 0 = n^2 + n + 1 - 1 = n^2 + (1)n -1 + (1)$.

$a_n = n^2 + n$.

$a_n = n^2 + n = n^2 + n + 1 - 1$

$a_n = n^2 + n = n^2 + n + 0$

与えられた形にするために、$a_n = n^2 + (a)n + (1)$

$a_n = n^2 + n = n^2 + 1n + 0$ なので$a = 1$.

3. 最終的な答え

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