数列 $2, 6, 12, 20, 30, 42, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、$a_n = n^2 + (a)n + (1)$の形式で表す。

1. 問題の内容

数列 $2, 6, 12, 20, 30, 42, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、$a_n = n^2 + (a)n + (1)$の形式で表す。

2. 解き方の手順

数列の階差を求める。

$6-2 = 4$

$12-6 = 6$

$20-12 = 8$

$30-20 = 10$

$42-30 = 12$

階差が $4, 6, 8, 10, 12, \dots$ となっているため、これは等差数列である。

階差数列の一般項は $2n+2$ と表せる。

したがって、数列 $a_n$ は2次の数列であると予想できる。

$a_n = An^2 + Bn + C$ とおく。

$a_1 = A + B + C = 2$

$a_2 = 4A + 2B + C = 6$

$a_3 = 9A + 3B + C = 12$

上の3つの式から$A, B, C$を求める。

$a_2 - a_1 = 3A + B = 4$

$a_3 - a_2 = 5A + B = 6$

$(5A+B) - (3A+B) = 2A = 2$

$A = 1$

$3A + B = 3 + B = 4$

$B = 1$

$A + B + C = 1 + 1 + C = 2$

$C = 0$

よって、$a_n = n^2 + n$

または、問題文で$a_n = n^2 + (a)n + (1)$と与えられているので、

$a_1 = 1^2 + (a)(1) + (1) = 2$ より $(a)+1 = 1$なので、$(a)=1$.

$a_n = n^2 + n + (1)$となる。

$a_2 = 2^2 + 2 + (1) = 6$より$(1) = 0$。

したがって、$a_n = n^2 + n$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + n$