与えられた不等式 $-x^2 - 2x + 2 < 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-x^2 - 2x + 2 < 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、 $x^2$ の係数を正にします。

$x^2 + 2x - 2 > 0$

次に、$x^2 + 2x - 2 = 0$ を満たす $x$ の値を求めます。これは二次方程式なので、解の公式を用いて解くことができます。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

今回の場合は、$a=1, b=2, c=-2$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解は $x = -1 + \sqrt{3}$ と $x = -1 - \sqrt{3}$ です。

$x^2 + 2x - 2 > 0$ を満たす $x$ の範囲を求めるには、二次関数のグラフが $x$ 軸より上にある範囲を考えます。

$x^2 + 2x - 2$ は下に凸の二次関数なので、$x < -1 - \sqrt{3}$ または $x > -1 + \sqrt{3}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x < -1 - \sqrt{3}$ または $x > -1 + \sqrt{3}$