(1) 初項 $a_1 = -4$、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 初項 $a_1 = -4$、漸化式 $a_{n+1} = a_n - 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 初項 $a_1 = 3$、漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式 $a_{n+1} = a_n - 3$ は、公差が $-3$ の等差数列を表す。

等差数列の一般項は、初項を $a_1$、公差を $d$ とすると、

$a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

この問題では、$a_1 = -4$, $d = -3$ なので、

$a_n = -4 + (n-1)(-3) = -4 - 3n + 3 = -3n - 1$

(2) 漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n$ は、公比が $\sqrt{3}$ の等比数列を表す。

等比数列の一般項は、初項を $a_1$、公比を $r$ とすると、

$a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。

この問題では、$a_1 = 3$, $r = \sqrt{3}$ なので、

$a_n = 3 (\sqrt{3})^{n-1} = 3 (\sqrt{3})^n (\sqrt{3})^{-1} = \frac{3}{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^n = \sqrt{3} (\sqrt{3})^n = (\sqrt{3})^{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -3n - 1$

(2) $a_n = (\sqrt{3})^{n+1}$