与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。連立一次方程式は行列を用いて以下のように表されています。 $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。連立一次方程式は行列を用いて以下のように表されています。

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くには、ガウスの消去法またはガウス・ジョルダンの消去法を用いることができます。 まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 & 0 \\ -1 & 1 & -3 & 0 \\ 1 & -3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 9/2 & 0 \\ -1 & 1 & -3 & 0 \\ 1 & -3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

2行目に1行目の1倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 9/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 3/2 & 0 \\ 1 & -3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 9/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 3/2 & 0 \\ 0 & -5/2 & -15/2 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 9/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & -5/2 & -15/2 & 0 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の5/2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 9/2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の1/2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これにより、以下の連立一次方程式が得られます。

$x_1 + 6x_3 = 0$

$x_2 + 3x_3 = 0$

$x_3$ は自由変数なので、$x_3 = t$ とおくと、

$x_1 = -6t$

$x_2 = -3t$

3. 最終的な答え

解は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} -6 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$

ここで、$t$ は任意の実数です。