次の連立一次方程式を解く問題です。 $3x_1 + 4x_2 - 6x_3 + 7x_4 + x_5 = 5$ $x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7$ $-x_1 - x_2 + 2x_3 - 2x_4 = -1$

1. 問題の内容

次の連立一次方程式を解く問題です。

$3x_1 + 4x_2 - 6x_3 + 7x_4 + x_5 = 5$

$x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 5x_4 + 3x_5 = 7$

$-x_1 - x_2 + 2x_3 - 2x_4 = -1$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くには、いくつかの方法があります。

ここでは、掃き出し法（ガウスの消去法）を使って解いてみます。

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$\begin{bmatrix}

3 & 4 & -6 & 7 & 1 & 5 \\

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}$

次に、行基本変形を行い、階段行列に変形します。

1. 1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

3 & 4 & -6 & 7 & 1 & 5 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}$

2. 2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & -8 & 0 & -8 & -8 & -16 \\

-1 & -1 & 2 & -2 & 0 & -1

\end{bmatrix}$

3. 3行目に1行目を加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & -8 & 0 & -8 & -8 & -16 \\

0 & 3 & 0 & 3 & 3 & 6

\end{bmatrix}$

4. 2行目を-8で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 3 & 0 & 3 & 3 & 6

\end{bmatrix}$

5. 3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 4 & -2 & 5 & 3 & 7 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

6. 1行目から2行目の4倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 & -1 & -1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

この行列は以下の連立方程式に対応します。

$x_1 - 2x_3 + x_4 - x_5 = -1$

$x_2 + x_4 + x_5 = 2$

$x_3$, $x_4$, $x_5$を任意定数とすると、

$x_1 = 2x_3 - x_4 + x_5 - 1$

$x_2 = -x_4 - x_5 + 2$

3. 最終的な答え

$x_1 = 2x_3 - x_4 + x_5 - 1$

$x_2 = -x_4 - x_5 + 2$

$x_3 = x_3$ (任意)

$x_4 = x_4$ (任意)

$x_5 = x_5$ (任意)