(1) 関数 $y = \log_{12}(1 + \frac{1}{x})$ が連続である $x$ の範囲を求める。 (2) 関数 $f(x) = [1 - x^2]$ （ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す）が $x = 0$ で連続かどうかを答える。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \log_{12}(1 + \frac{1}{x})$ が連続である $x$ の範囲を求める。

(2) 関数 $f(x) = [1 - x^2]$ （ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す）が $x = 0$ で連続かどうかを答える。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = \log_{12}(1 + \frac{1}{x})$ が連続であるための条件は、以下の2つである。

* 真数条件：$1 + \frac{1}{x} > 0$

* $x \neq 0$

真数条件を変形すると、

$\frac{x+1}{x} > 0$

この不等式を解くために、$x+1$ と $x$ の符号を調べる。

* $x < -1$ のとき、$x+1 < 0$ かつ $x < 0$ なので、$\frac{x+1}{x} > 0$ が成り立つ。

* $-1 < x < 0$ のとき、$x+1 > 0$ かつ $x < 0$ なので、$\frac{x+1}{x} < 0$ が成り立つ。

* $x > 0$ のとき、$x+1 > 0$ かつ $x > 0$ なので、$\frac{x+1}{x} > 0$ が成り立つ。

したがって、$1 + \frac{1}{x} > 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x < -1$ または $x > 0$ である。

(2)

関数 $f(x) = [1 - x^2]$ が $x = 0$ で連続であるためには、以下の3つの条件が成り立つ必要がある。

* $f(0)$ が定義されている。

* $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

* $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0) = [1 - 0^2] = [1] = 1$ である。

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を求める。

$x$ が $0$ に近づくとき、$1 - x^2$ は $1$ に近づく。特に、$x$ が $0$ に近いとき、$1 - x^2 < 1$ であることを考慮する必要がある。

例えば、$x$ が正の小さい値を取るとき、$0 < 1 - x^2 < 1$ であるため、$[1-x^2] = 0$である。

一方、$x$ が負の小さい値を取るとき、$0 < 1 - x^2 < 1$であるため、$[1-x^2] = 0$である。

右極限：$\lim_{x \to +0} [1 - x^2] = 0$

左極限：$\lim_{x \to -0} [1 - x^2] = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ である。

$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \neq 1 = f(0)$ であるため、$f(x)$ は $x = 0$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

(1) $x < -1$ または $0 < x$

(2) 連続ではない