関数 $f(x,y)$ が与えられています。 1) $f(x,y) = x^{1/2} y^{1/2}$ 2) $f(x,y) = \min\{x, 2y\}$ それぞれについて、以下の問いに答えます。 a) $(x,y) = (1,2)$ における $f(x,y)$ の値を求めます。 b) 等高線 $f(x,y) = 6$ を描きます。 注意: (1) については等高線が通る格子点（すべての座標が整数であるような点）も図示します。(2) は、等高線が屈曲する点を図示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。

1) $f(x,y) = x^{1/2} y^{1/2}$

2) $f(x,y) = \min\{x, 2y\}$

それぞれについて、以下の問いに答えます。

a) $(x,y) = (1,2)$ における $f(x,y)$ の値を求めます。

b) 等高線 $f(x,y) = 6$ を描きます。

注意: (1) については等高線が通る格子点（すべての座標が整数であるような点）も図示します。(2) は、等高線が屈曲する点を図示します。

2. 解き方の手順

1) $f(x,y) = x^{1/2} y^{1/2}$

a) $(x,y) = (1,2)$ を代入します。

$f(1,2) = 1^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$

b) $f(x,y) = 6$ となる等高線を描きます。

$x^{1/2} y^{1/2} = 6$

両辺を2乗すると

$xy = 36$

$y = \frac{36}{x}$

格子点を通る点をいくつか見つけると、

$(1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6), (9,4), (12,3), (18,2), (36,1)$ などがあります。

これらの点をプロットし、滑らかな曲線で結びます。

2) $f(x,y) = \min\{x, 2y\}$

a) $(x,y) = (1,2)$ を代入します。

$f(1,2) = \min\{1, 2\cdot 2\} = \min\{1, 4\} = 1$

b) $f(x,y) = 6$ となる等高線を描きます。

$\min\{x, 2y\} = 6$

これは、

$x \ge 6$ かつ $2y = 6$

または

$x = 6$ かつ $2y \ge 6$

の場合に成り立ちます。

$2y = 6$ より $y = 3$ であるから、$x \ge 6$ で $y=3$ の直線。

$x = 6$ で $2y \ge 6$ より $y \ge 3$ であるから、$x=6$ で $y \ge 3$ の直線。

したがって、$x \ge 6$ で $y = 3$、 $x = 6$ で $y \ge 3$ となります。

等高線は点 $(6,3)$ で折れ曲がります。

3. 最終的な答え

1)

a) $\sqrt{2}$

b) $y = \frac{36}{x}$。格子点 $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6), (9,4), (12,3), (18,2), (36,1)$ などを通る双曲線。

2)

a) $1$

b) $x \ge 6$ で $y = 3$、 $x = 6$ で $y \ge 3$ である直線。$(6,3)$ で屈曲する。