与えられた3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \log(3x) dx$ (2) $\int \log(x+1) dx$ (3) $\int \log|x^2 - 1| dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \log(3x) dx$

(2) $\int \log(x+1) dx$

(3) $\int \log|x^2 - 1| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \log(3x) dx$

$\log(3x) = \log 3 + \log x$ より、

$\int \log(3x) dx = \int (\log 3 + \log x) dx = \int \log 3 dx + \int \log x dx$

$\int \log 3 dx = x \log 3 + C_1$

$\int \log x dx$ は部分積分を使って計算します。$\log x = 1 \cdot \log x$ と見て、

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

よって、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C_2$

したがって、

$\int \log(3x) dx = x \log 3 + x \log x - x + C = x(\log 3 + \log x) - x + C = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int \log(x+1) dx$

$t = x+1$ と置換すると、$dt = dx$ となり、

$\int \log(x+1) dx = \int \log t dt$

先程と同様に部分積分を使って計算します。

$u = \log t$, $dv = dt$ とすると、$du = \frac{1}{t} dt$, $v = t$ となります。

よって、

$\int \log t dt = t \log t - \int t \cdot \frac{1}{t} dt = t \log t - \int dt = t \log t - t + C$

$t = x+1$ を代入して、

$\int \log(x+1) dx = (x+1) \log(x+1) - (x+1) + C$

(3) $\int \log|x^2 - 1| dx = \int \log|(x-1)(x+1)| dx = \int (\log|x-1| + \log|x+1|) dx$

$\int \log|x-1| dx$ を計算します。$u = x-1$ と置換すると、$du = dx$ となり、

$\int \log|x-1| dx = \int \log|u| du$

これはすでに (2) で計算しているので、

$\int \log|u| du = u \log|u| - u + C = (x-1) \log|x-1| - (x-1) + C$

$\int \log|x+1| dx$ も (2) で計算しているので、

$\int \log|x+1| dx = (x+1) \log|x+1| - (x+1) + C$

したがって、

$\int \log|x^2 - 1| dx = (x-1) \log|x-1| - (x-1) + (x+1) \log|x+1| - (x+1) + C$

$= (x-1) \log|x-1| + (x+1) \log|x+1| - 2x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log(3x) dx = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int \log(x+1) dx = (x+1) \log(x+1) - (x+1) + C$

(3) $\int \log|x^2 - 1| dx = (x-1) \log|x-1| + (x+1) \log|x+1| - 2x + C$