問題は2つの部分から構成されています。 (1) $x$ が $c$ に近づくとき、$f(x) - g(x)$ の極限が $A - B$ になることをイプシロン-デルタ論法で証明します。ここで、$A$ は $f(x)$ の $x \to c$ での極限、$B$ は $g(x)$ の $x \to c$ での極限です。 (2) $A \neq B$ のとき、ある $\delta > 0$ が存在して、$x \in I$ かつ $|x - c| < \delta$ ならば、$f(x) \neq g(x)$ が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) $x$ が $c$ に近づくとき、$f(x) - g(x)$ の極限が $A - B$ になることをイプシロン-デルタ論法で証明します。ここで、$A$ は $f(x)$ の $x \to c$ での極限、$B$ は $g(x)$ の $x \to c$ での極限です。

(2) $A \neq B$ のとき、ある $\delta > 0$ が存在して、$x \in I$ かつ $|x - c| < \delta$ ならば、$f(x) \neq g(x)$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

(1) の証明 ($\epsilon-\delta$ 論法)

目標：任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x - c| < \delta$ かつ $x \in I$ ならば、$|(f(x) - g(x)) - (A - B)| < \epsilon$ が成立することを示す。

手順：

1. $| (f(x) - g(x)) - (A - B) |$ を変形する。

$| (f(x) - g(x)) - (A - B) | = | (f(x) - A) - (g(x) - B) | \leq |f(x) - A| + |g(x) - B|$

2. $\lim_{x \to c} f(x) = A$ より、任意の $\epsilon_1 > 0$ に対して、ある $\delta_1 > 0$ が存在し、$0 < |x - c| < \delta_1$ かつ $x \in I$ ならば、$|f(x) - A| < \epsilon_1$。

3. $\lim_{x \to c} g(x) = B$ より、任意の $\epsilon_2 > 0$ に対して、ある $\delta_2 > 0$ が存在し、$0 < |x - c| < \delta_2$ かつ $x \in I$ ならば、$|g(x) - B| < \epsilon_2$。

4. $\epsilon_1 = \epsilon_2 = \epsilon / 2$ とし、$\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ と選ぶ。

5. $0 < |x - c| < \delta$ かつ $x \in I$ ならば、$|f(x) - A| < \epsilon / 2$ かつ $|g(x) - B| < \epsilon / 2$ が成り立つ。

6. したがって、$|(f(x) - g(x)) - (A - B)| \leq |f(x) - A| + |g(x) - B| < \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon$。

7. よって、$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = A - B$ が証明された。

(2) の証明

目標：$A \neq B$ を仮定し、ある $\delta > 0$ が存在し、$x \in I$ かつ $0 < |x - c| < \delta$ ならば、$f(x) \neq g(x)$ が成り立つことを示す。

手順：

1. $A \neq B$ なので、$A - B \neq 0$。したがって、$|A - B| > 0$ である。

2. $\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = A - B$ であるから、$\epsilon = |A - B| / 2 > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x - c| < \delta$ かつ $x \in I$ ならば、$|(f(x) - g(x)) - (A - B)| < \epsilon$ が成り立つ。

3. $|(f(x) - g(x)) - (A - B)| < |A - B| / 2$ であるから、三角不等式より、$|A - B| - |f(x) - g(x)| \leq |(f(x) - g(x)) - (A - B)| < |A - B| / 2$。

4. したがって、$|f(x) - g(x)| > |A - B| - |A - B| / 2 = |A - B| / 2 > 0$。

5. $|f(x) - g(x)| > 0$ より、$f(x) - g(x) \neq 0$。

6. よって、$f(x) \neq g(x)$ が証明された。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = A - B$ の証明は上記の通り。

(2) $A \neq B$ のとき、$x \in I$ かつ $0 < |x - c| < \delta$ ならば、$f(x) \neq g(x)$。