$f(x)$ は閉区間 $[0,1]$ で連続、開区間 $(0,1)$ で微分可能な関数とします。 (1) $g(x) = e^{-x} f(x)$ と定義するとき、 $x \in (0,1)$ に対して $g(x)$ の1階導関数 $g'(x)$ を求めなさい。 (2) $f(0) = f(1)$ であるとき、$f'(c) = f(c) - f(0)$ を満たす $c \in (0,1)$ が存在することを示しなさい。 ただし、$f'(x)$ は $f(x)$ の1階導関数です。

1. 問題の内容

$f(x)$ は閉区間 $[0,1]$ で連続、開区間 $(0,1)$ で微分可能な関数とします。

(1) $g(x) = e^{-x} f(x)$ と定義するとき、 $x \in (0,1)$ に対して $g(x)$ の1階導関数 $g'(x)$ を求めなさい。

(2) $f(0) = f(1)$ であるとき、$f'(c) = f(c) - f(0)$ を満たす $c \in (0,1)$ が存在することを示しなさい。 ただし、$f'(x)$ は $f(x)$ の1階導関数です。

2. 解き方の手順

(1)

$g(x) = e^{-x} f(x)$ を微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$g'(x) = (e^{-x})' f(x) + e^{-x} f'(x)$

$e^{-x}$ の微分は $-e^{-x}$ なので、

$g'(x) = -e^{-x} f(x) + e^{-x} f'(x)$

$g'(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x))$

(2)

$f(0) = f(1)$ であることと、$g(x) = e^{-x} f(x)$ であることを利用します。

まず、$g(0)$ と $g(1)$ を計算します。

$g(0) = e^{-0} f(0) = 1 \cdot f(0) = f(0)$

$g(1) = e^{-1} f(1)$

$f(0) = f(1)$ より、$g(0) = f(0) = f(1) = e \cdot g(1)$、つまり、$g(1) = e^{-1} f(1)$.

ここで、関数 $g(x)$ は $[0,1]$ で連続であり、$(0,1)$ で微分可能です。

$g(0)$ と $g(1)$ を比べると、 $g(0) = f(0) = f(1)$ であり、$g(1) = \frac{1}{e} f(1)$. よって、$g(0) \ne g(1)$ です。（もし $f(0)=0$ であれば、$g(0) = g(1) = 0$ となり、ロルの定理を使うことができなくなります。）

$h(x) = e^x g(x) = f(x)$とおくと、$h(0) = f(0), h(1) = f(1)$。$f(0) = f(1)$より、$h(0) = h(1)$.

ロルの定理より、$h'(c) = 0$ となる $c \in (0,1)$ が存在します。

$h'(x) = f'(x)$ なので、$f'(c) = 0$.

ここで、$g'(x) = e^{-x}(f'(x) - f(x))$ を思い出します。

仮定より、$f(0) = f(1)$.

平均値の定理より、$f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = 0$ を満たす $c \in (0,1)$ が存在します。

一方、$g(x) = e^{-x}f(x)$ とすると、$g(0) = e^{-0}f(0) = f(0)$、$g(1) = e^{-1}f(1) = e^{-1}f(0)$。よって$g(0) \ne g(1)$.

ここで、$F(x) = e^x g(x) = f(x)$ とすると、$F'(x) = e^x g(x) + e^x g'(x) = f'(x)$.

$g'(c) = 0$となる$c$ が存在することを示せばよい．

$g(0)=f(0), g(1) = e^{-1}f(1) = e^{-1}f(0)$

$e^x g(x) = f(x)$なので

$e^x g(x) = h(x)$とおくと、$h'(x) = e^x g(x) + e^x g'(x) = e^x(g(x) + g'(x))$.

$e^x (g(c)+g'(c)) = f'(c) = e^c g(c) + e^c g'(c)$。

$f'(c) = f(c) - f(0)$となる$c$を見つけたい。

$g'(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x))$なので、$g'(c) = e^{-c} (f'(c) - f(c))$.

目標は$f'(c) = f(c) - f(0)$，つまり$f'(c)-f(c) = -f(0)$を示すこと。

$g'(c) = e^{-c}(-f(0))$を示したい。

$F(x) = e^x g(x) + f(0) x$という関数を考えます.

$g(1) = e^{-1} f(0)$.

平均値の定理より、$f'(c) = f(1) - f(0) = 0$を満たす $c$ が存在します。

3. 最終的な答え

(1) $g'(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x))$

(2) (証明)

$g(x)=e^{-x}f(x)$とおく。

平均値の定理より、$\frac{g(1)-g(0)}{1-0} = g'(c) = e^{-c}(f'(c)-f(c))$となる $c \in (0,1)$ が存在する。

$g(1)-g(0) = e^{-1}f(1)-f(0) = e^{-1}f(0)-f(0) = f(0)(e^{-1}-1)$

よって、$g'(c) = f(0)(e^{-1}-1) = e^{-c}(f'(c)-f(c))$

$e^{-c}$で割ると、$e^{c} (e^{-1}-1) f(0) = f'(c)-f(c)$

$f(0)(e^{(c-1)} - e^c) = f'(c) - f(c)$

$f'(c) = f(c) + f(0)(e^{(c-1)} - e^c)$