与えられた極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、日本語で回答します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2 (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2 (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \frac{2x^2}{x^2 (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$\sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

$\frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6x}{5x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6}{5}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{(1-x)(1+x)}$

ここで、$x = 1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{(1-(1+h))(1+(1+h))} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{-h(2+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{-(2+h)}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$ なので、$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)\log (1+h)}{h} = 1$

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{-(2+h)} = -\frac{1}{2}$

よって、$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\frac{6}{5}$

(4) $-\frac{1}{2}$