第十回課題2の重積分 $I = \iint_E (x+y) dxdy$ の値を求める問題です。積分領域は $E = \{(x,y) | 0 \leq x + 2y \leq 1, 0 \leq -x + 3y \leq 1\}$ で与えられています。

1. 問題の内容

第十回課題2の重積分 $I = \iint_E (x+y) dxdy$ の値を求める問題です。積分領域は $E = \{(x,y) | 0 \leq x + 2y \leq 1, 0 \leq -x + 3y \leq 1\}$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分領域 $E$ をより扱いやすい領域 $D$ に変換するための変数変換を考えます。領域 $E$ の条件式から、以下の変数変換を導入します。

$u = x + 2y$

$v = -x + 3y$

これにより、積分領域は $0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1$ となり、(u,v)平面における領域Dは長方形になります。

次に、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で表します。上記の連立方程式を解くと、

$x = \frac{3}{5}u - \frac{2}{5}v$

$y = \frac{1}{5}u + \frac{1}{5}v$

この変数変換のヤコビアンを計算します。

$J = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{vmatrix} = \frac{3}{25} - (-\frac{2}{25}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

変数変換とヤコビアンを用いて、重積分を変換します。

$I = \iint_E (x+y) dxdy = \iint_D (\frac{3}{5}u - \frac{2}{5}v + \frac{1}{5}u + \frac{1}{5}v) |J| dudv = \iint_D (\frac{4}{5}u - \frac{1}{5}v) \frac{1}{5} dudv = \frac{1}{25} \int_0^1 \int_0^1 (4u - v) dudv$

積分を計算します。

$I = \frac{1}{25} \int_0^1 [2u^2 - vu]_0^1 dv = \frac{1}{25} \int_0^1 (2 - v) dv = \frac{1}{25} [2v - \frac{1}{2}v^2]_0^1 = \frac{1}{25} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{50}$

3. 最終的な答え

$I = \frac{3}{50}$