3次関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求め、極小値と極大値を与える $x$ の値とその時の値を求めます。 (2) 方程式 $-x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ の実数解の個数を求めます。 (3) 方程式 $x^3 - 3x^2 + 1 + k = 0$ の実数解の個数が3個であるときの、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求め、極小値と極大値を与える $x$ の値とその時の値を求めます。

(2) 方程式 $-x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ の実数解の個数を求めます。

(3) 方程式 $x^3 - 3x^2 + 1 + k = 0$ の実数解の個数が3個であるときの、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を計算します。

$f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$ より、

$f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$ のときです。

$f'(x)$ の符号を調べると、

$x < 0$ のとき $f'(x) < 0$

$0 < x < 2$ のとき $f'(x) > 0$

$x > 2$ のとき $f'(x) < 0$

となるため、$x = 0$ で極小、$x = 2$ で極大となります。

$f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 1 = -1$

$f(2) = -2^3 + 3(2)^2 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3$

よって、x=0のとき極小値-1, x=2のとき極大値3をとります。

(2) 方程式 $-x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ の実数解の個数は、$y = -x^3 + 3x^2 - 1$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数に等しいです。$x=0$で極小値$-1$、$x=2$で極大値$3$をとるので、$x$軸はグラフと3回交わるため、実数解の個数は3個です。

(3) 方程式 $x^3 - 3x^2 + 1 + k = 0$ を変形すると、$-x^3 + 3x^2 - 1 = k$ となります。方程式の実数解の個数は、関数 $y = -x^3 + 3x^2 - 1$ のグラフと、直線 $y = k$ の交点の個数に等しくなります。実数解の個数が3個となるためには、極小値と極大値の間に $k$ が存在する必要があります。

極小値は $-1$ で、極大値は $3$ なので、$-1 < k < 3$ が答えです。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -3x^2 + 6x$

$x = 0$ のとき極小値 $-1$, $x = 2$ のとき極大値 $3$ をとる。

(2) 実数解の個数は $3$ 個

(3) $-1 < k < 3$