不定積分 $\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ とおきます。

両辺に $x(x-1)^2$ を掛けると、

$x^2 - 2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$

$x^2 - 2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - x) + Cx$

$x^2 - 2 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx$

$x^2 - 2 = (A+B)x^2 + (-2A-B+C)x + A$

この式が全ての $x$ で成り立つためには、各係数が等しくなければなりません。

したがって、次の連立方程式が得られます。

$A + B = 1$

$-2A - B + C = 0$

$A = -2$

$A = -2$ を $A+B=1$ に代入すると、$-2 + B = 1$ より $B = 3$

$A = -2$ と $B = 3$ を $-2A - B + C = 0$ に代入すると、$-2(-2) - 3 + C = 0$ より $4 - 3 + C = 0$ よって $C = -1$

したがって、

$\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{-2}{x} + \frac{3}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2}$

よって、

$\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx = \int \left(\frac{-2}{x} + \frac{3}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2}\right) dx$

$= -2 \int \frac{1}{x} dx + 3 \int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$= -2 \ln |x| + 3 \ln |x-1| + \frac{1}{x-1} + C$

3. 最終的な答え

$-2 \ln |x| + 3 \ln |x-1| + \frac{1}{x-1} + C$