問題285は、座標平面上の2点 $P(x, 0)$, $Q(x, \sin x)$を結ぶ線分を1辺とする、この平面に垂直な正方形を考える。点Pが原点Oから点 $A(\pi, 0)$ まで動くとき、この正方形が通過してできる立体の体積 $V$ を求める問題である。

1. 問題の内容

問題285は、座標平面上の2点 $P(x, 0)$, $Q(x, \sin x)$を結ぶ線分を1辺とする、この平面に垂直な正方形を考える。点Pが原点Oから点 $A(\pi, 0)$ まで動くとき、この正方形が通過してできる立体の体積 $V$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

正方形の一辺の長さは $\sin x$ であるから、正方形の面積は $\sin^2 x$ となる。

点Pが原点から $A(\pi, 0)$ まで動くとき、この正方形が通過してできる立体の体積 $V$ は、$\sin^2 x$ を $x$ について $0$ から $\pi$ まで積分することで求められる。

$V = \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ であるから、積分は以下のようになる。

$V = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) \, dx$

$V = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right]$

$V = \frac{1}{2} (\pi - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\pi}{2}$