(1) 直線 $y = 3x + 6$ と放物線 $y = 3x^2$ の交点の $x$ 座標を求め、それらで囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (2) 2つの放物線 $y = x^2 - 4$ と $y = -3x^2 + 4x$ の交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\beta - \alpha$ を求め、それらで囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = 3x + 6$ と放物線 $y = 3x^2$ の交点の $x$ 座標を求め、それらで囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(2) 2つの放物線 $y = x^2 - 4$ と $y = -3x^2 + 4x$ の交点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\beta - \alpha$ を求め、それらで囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 交点の $x$ 座標を求めるため、$3x + 6 = 3x^2$ を解く。

$3x^2 - 3x - 6 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = -1, 2$

よって、交点の $x$ 座標は $-1$ と $2$。

* 面積 $S$ を求める。$S$ は $\int_{-1}^{2} (3x + 6 - 3x^2) dx$ で計算できる。

$S = \int_{-1}^{2} (-3x^2 + 3x + 6) dx = [-x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x]_{-1}^{2}$

$S = (-8 + 6 + 12) - (1 + \frac{3}{2} - 6) = 10 - (-\frac{7}{2}) = 10 + \frac{7}{2} = \frac{27}{2}$

したがって、$S = \frac{27}{2}$

(2)

* 交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を求めるため、$x^2 - 4 = -3x^2 + 4x$ を解く。

$4x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2 - x - 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

* $\alpha + \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$\alpha \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$\beta - \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

* 面積 $S$ を求める。$S$ は $\int_{\alpha}^{\beta} (-3x^2 + 4x - (x^2 - 4)) dx$ で計算できる。

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-4x^2 + 4x + 4) dx = [-\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + 4x]_{\alpha}^{\beta}$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} -4(x^2 - x - 1) dx = -4 \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$

$S = -4 \cdot (-\frac{1}{6}) (\beta - \alpha)^3 = \frac{2}{3} (\sqrt{5})^3 = \frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{5} = \frac{10\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 交点の $x$ 座標: $-1$, $2$

面積 $S$: $\frac{27}{2}$

(2) $\alpha + \beta = 1$

$\alpha \beta = -1$

$\beta - \alpha = \sqrt{5}$

面積 $S = \frac{10\sqrt{5}}{3}$