半径 $a$ の金属球があり、その周りを半径 $r=b$ から $r=c$ まで誘電率 $\epsilon$ の誘電体で覆っている。金属球に $+Q$ の電荷を与えたとき、この系の静電容量を求める。

## 解答

1. 問題の内容

半径 $a$ の金属球があり、その周りを半径 $r=b$ から $r=c$ まで誘電率 $\epsilon$ の誘電体で覆っている。金属球に $+Q$ の電荷を与えたとき、この系の静電容量を求める。

2. 解き方の手順

系の静電容量 $C$ は、電荷 $Q$ と電位差 $V$ の関係 $C = Q/V$ から求められる。電位差 $V$ は、電場 $E$ を積分することで求められる。この問題を解くには、ガウスの法則を用いて電場を計算し、それを積分して電位差を求め、最終的に静電容量を計算する。積分範囲を問題文のヒントに従い、$+\infty$ から $c$, $c$ から $b$, $b$ から $a$ の範囲で考える。

(1) ガウスの法則より、電場を求める。

半径 $r$ の球面を考える。ガウスの法則より、

$\oint \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q_{enc}$

ここで、$\mathbf{D}$ は電束密度、 $d\mathbf{S}$ は微小面積ベクトル、$Q_{enc}$ は球面内の電荷である。電場は球対称性から、半径方向にのみ依存する。

(i) $r > c$ の領域: 誘電率は $\epsilon_0$ であり、$Q_{enc} = Q$ である。したがって、

$D(r) \cdot 4\pi r^2 = Q$

$E(r) = \frac{D(r)}{\epsilon_0} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

(ii) $b < r < c$ の領域: 誘電率は $\epsilon$ であり、$Q_{enc} = Q$ である。したがって、

$D(r) \cdot 4\pi r^2 = Q$

$E(r) = \frac{D(r)}{\epsilon} = \frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}$

(iii) $a < r < b$ の領域: 誘電率は $\epsilon_0$ であり、$Q_{enc} = Q$ である。したがって、

$D(r) \cdot 4\pi r^2 = Q$

$E(r) = \frac{D(r)}{\epsilon_0} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

(2) 電位差 $V$ を求める。

電位の基準点を無限遠にとると、電位差は以下の積分で計算できる。

$V = -\int_{\infty}^{a} E(r) dr = -\int_{\infty}^{c} E(r) dr - \int_{c}^{b} E(r) dr - \int_{b}^{a} E(r) dr$

それぞれの積分は、

$-\int_{\infty}^{c} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{r} \right]_{\infty}^{c} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 c}$

$-\int_{c}^{b} \frac{Q}{4\pi \epsilon r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \epsilon} \left[ \frac{1}{r} \right]_{c}^{b} = \frac{Q}{4\pi \epsilon} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right)$

$-\int_{b}^{a} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{r} \right]_{b}^{a} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$

したがって、電位差 $V$ は

$V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 c} + \frac{Q}{4\pi \epsilon} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) + \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$

$V = \frac{Q}{4\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon_0 c} + \frac{1}{\epsilon b} - \frac{1}{\epsilon c} + \frac{1}{\epsilon_0 a} - \frac{1}{\epsilon_0 b} \right]$

$V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{\epsilon_0}{\epsilon} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) \right]$

$V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \left( \frac{\epsilon_0}{\epsilon} - 1 \right) \frac{1}{b} + \left( 1 - \frac{\epsilon_0}{\epsilon} \right) \frac{1}{c} \right]$

$V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \left( \frac{\epsilon_0}{\epsilon} - 1 \right) \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) \right]$

(3) 静電容量 $C$ を求める。

$C = \frac{Q}{V} = \frac{4\pi \epsilon_0}{\frac{1}{a} + \left( \frac{\epsilon_0}{\epsilon} - 1 \right) \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right)}$

$C = \frac{4\pi \epsilon_0}{\frac{1}{a} + \left(\frac{\epsilon_0}{\epsilon} - 1\right)\left(\frac{c-b}{bc}\right)}$

3. 最終的な答え

$C = \frac{4\pi \epsilon_0}{\frac{1}{a} + \left(\frac{\epsilon_0}{\epsilon} - 1\right)\left(\frac{c-b}{bc}\right)}$