与えられた2つの関数を微分し、$y'$ を求める問題です。 (1) $y=(3x+2)^4$ (2) $y=\frac{1}{(x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分し、$y'$ を求める問題です。

(1) $y=(3x+2)^4$

(2) $y=\frac{1}{(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数の微分公式を用います。

$y = u^4$ とおくと、$u = 3x + 2$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3$

よって、アは12、イは3となります。

(2)

これも合成関数の微分公式を用います。

$y = \frac{1}{u^2} = u^{-2}$ とおくと、$u = x + 1$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}$

$\frac{du}{dx} = 1$

したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{u^3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x+1)^3}$

よって、アは-2、イは3となります。

3. 最終的な答え

(1) $y' = 12(3x+2)^3$

(2) $y' = -\frac{2}{(x+1)^3}$