$x = 2a + \frac{2}{a}$、 $y = 2a - \frac{2}{a}$ であるとき、$4x^2 - xy + 4y^2$ を $a$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

$x = 2a + \frac{2}{a}$、 $y = 2a - \frac{2}{a}$ であるとき、$4x^2 - xy + 4y^2$ を $a$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を与えられた式に代入します。

$4x^2 - xy + 4y^2 = 4(2a + \frac{2}{a})^2 - (2a + \frac{2}{a})(2a - \frac{2}{a}) + 4(2a - \frac{2}{a})^2$

次に、それぞれを展開します。

$(2a + \frac{2}{a})^2 = 4a^2 + 8 + \frac{4}{a^2}$

$(2a - \frac{2}{a})^2 = 4a^2 - 8 + \frac{4}{a^2}$

$(2a + \frac{2}{a})(2a - \frac{2}{a}) = 4a^2 - \frac{4}{a^2}$

これらを代入します。

$4(4a^2 + 8 + \frac{4}{a^2}) - (4a^2 - \frac{4}{a^2}) + 4(4a^2 - 8 + \frac{4}{a^2})$

$= 16a^2 + 32 + \frac{16}{a^2} - 4a^2 + \frac{4}{a^2} + 16a^2 - 32 + \frac{16}{a^2}$

$= (16a^2 - 4a^2 + 16a^2) + (32 - 32) + (\frac{16}{a^2} + \frac{4}{a^2} + \frac{16}{a^2})$

$= 28a^2 + \frac{36}{a^2}$

3. 最終的な答え

$28a^2 + \frac{36}{a^2}$