整数 $m, n$ が与えられたとき、方程式 $48n + 3 = m^2$ を満たす $m, n$ の組が存在しないことを示します。

1. 問題の内容

整数 $m, n$ が与えられたとき、方程式 $48n + 3 = m^2$ を満たす $m, n$ の組が存在しないことを示します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$48n + 3 = m^2$ より、

$3(16n + 1) = m^2$

この式から、$m^2$ は3の倍数であることがわかります。したがって、$m$ も3の倍数でなければなりません。そこで、$m = 3k$ （$k$ は整数）とおきます。これを上記の式に代入すると、

$3(16n + 1) = (3k)^2$

$3(16n + 1) = 9k^2$

$16n + 1 = 3k^2$

$16n = 3k^2 - 1$

この式から、$3k^2 - 1$ は16の倍数であることがわかります。

つまり、$3k^2 - 1 \equiv 0 \pmod{16}$ となります。

これを変形すると、$3k^2 \equiv 1 \pmod{16}$ となります。

$k^2 \equiv 3^{-1} \pmod{16}$

ここで、$3^{-1} \pmod{16}$ は、3と掛けて16で割った余りが1になるような数です。

$3 \times 11 = 33 \equiv 1 \pmod{16}$ なので、$3^{-1} \equiv 11 \pmod{16}$ です。

したがって、$k^2 \equiv 11 \pmod{16}$ となります。

次に、$k$ を $\pmod{16}$ で考えます。$k$ は整数なので、$k$ の候補は $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$ です。

それぞれの $k$ に対して $k^2 \pmod{16}$ を計算します。

* $0^2 \equiv 0 \pmod{16}$

* $1^2 \equiv 1 \pmod{16}$

* $2^2 \equiv 4 \pmod{16}$

* $3^2 \equiv 9 \pmod{16}$

* $4^2 \equiv 16 \equiv 0 \pmod{16}$

* $5^2 \equiv 25 \equiv 9 \pmod{16}$

* $6^2 \equiv 36 \equiv 4 \pmod{16}$

* $7^2 \equiv 49 \equiv 1 \pmod{16}$

* $8^2 \equiv 64 \equiv 0 \pmod{16}$

* $9^2 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{16}$

* $10^2 \equiv 100 \equiv 4 \pmod{16}$

* $11^2 \equiv 121 \equiv 9 \pmod{16}$

* $12^2 \equiv 144 \equiv 0 \pmod{16}$

* $13^2 \equiv 169 \equiv 9 \pmod{16}$

* $14^2 \equiv 196 \equiv 4 \pmod{16}$

* $15^2 \equiv 225 \equiv 1 \pmod{16}$

$k^2 \pmod{16}$ の値は $0, 1, 4, 9$ のいずれかであり、11にはなりません。

したがって、$k^2 \equiv 11 \pmod{16}$ を満たす整数 $k$ は存在しません。

よって、$48n + 3 = m^2$ を満たす整数 $m, n$ の組は存在しません。

3. 最終的な答え

$48n + 3 = m^2$ を満たす整数 $m, n$ の組は存在しない。