与えられた式 $x^2 - ax - 6x + 3a + 9$ を因数分解できる形にしたい。おそらく、$a$の値を求める問題だろう。この式を整理し、因数分解可能な形にすることを考える。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - ax - 6x + 3a + 9$ を因数分解できる形にしたい。おそらく、$a$の値を求める問題だろう。この式を整理し、因数分解可能な形にすることを考える。

2. 解き方の手順

与えられた式を$x$について整理する。

$x^2 - ax - 6x + 3a + 9 = x^2 - (a+6)x + (3a+9)$

この式が因数分解できるためには、$(x-p)(x-q) = x^2 - (p+q)x + pq$の形になる必要がある。

したがって、$p+q = a+6$ かつ $pq = 3a+9$ という関係が成り立つ。

$pq = 3a+9$ より $a = (pq-9)/3 = (pq/3) - 3$

$p+q = a+6$ に代入して、$p+q = (pq/3) - 3 + 6 = (pq/3) + 3$

$p+q = (pq/3) + 3$ を整理して、$3(p+q) = pq + 9$

$pq - 3p - 3q + 9 = 0$

$(p-3)(q-3) = 0$

よって、$p=3$ または $q=3$である。

$p=3$のとき、$p+q=3+q = a+6$ より、$a = q-3$

また、$pq=3q = 3a+9$ より、$q = a+3$

したがって、$a = (a+3) - 3 = a$ となり、これは常に成り立つ。

$q=3$のとき、$p+q=p+3 = a+6$ より、$a = p-3$

また、$pq=3p = 3a+9$ より、$p = a+3$

したがって、$a = (a+3) - 3 = a$ となり、これも常に成り立つ。

この式が因数分解できるようにするために、$x^2 - (a+6)x + 3a + 9 = (x+m)(x+n)$ とおける。

$m+n = -(a+6)$

$mn = 3a+9$

これを満たす$m,n$を求める。

ここで、$x^2 - (a+6)x + (3a+9) = 0$ の判別式 $D = (a+6)^2 - 4(3a+9) = a^2 + 12a + 36 - 12a - 36 = a^2$

これは常に$0$以上なので、実数解を持つ。

因数分解できるように、平方完成を試みる。

$x^2 - (a+6)x + (3a+9) = (x - \frac{a+6}{2})^2 - (\frac{a+6}{2})^2 + (3a+9)$

$= (x - \frac{a+6}{2})^2 - (\frac{a^2+12a+36}{4}) + (3a+9)$

$= (x - \frac{a+6}{2})^2 - \frac{1}{4}(a^2+12a+36 - 12a - 36)$

$= (x - \frac{a+6}{2})^2 - \frac{a^2}{4}$

$= (x - \frac{a+6}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2$

$= (x - \frac{a+6}{2} - \frac{a}{2})(x - \frac{a+6}{2} + \frac{a}{2})$

$= (x - a - 3)(x - 3)$

したがって、$x^2 - ax - 6x + 3a + 9 = (x-3)(x-a-3)$と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$x^2 - ax - 6x + 3a + 9 = (x-3)(x-a-3)$