与えられた3つの関数について、それぞれの2次導関数を求める問題です。 (1) $y = 3x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ (2) $y = \frac{x^2}{x - 3}$ (3) $y = x^3 \log x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの2次導関数を求める問題です。

(1) $y = 3x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

(2) $y = \frac{x^2}{x - 3}$

(3) $y = x^3 \log x$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

まず、1次導関数を求めます。

$y' = 9x^2 - 6x + 4$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = 18x - 6$

したがって、y'' = 18x + (-6)となります。

(2) $y = \frac{x^2}{x - 3}$

まず、1次導関数を求めます。商の微分法を使用します。

$y' = \frac{2x(x-3) - x^2(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x}{(x-3)^2}$

次に、2次導関数を求めます。再び商の微分法を使用します。

$y'' = \frac{(2x - 6)(x-3)^2 - (x^2 - 6x)(2(x-3))}{(x-3)^4} = \frac{(2x - 6)(x-3) - 2(x^2 - 6x)}{(x-3)^3} = \frac{2x^2 - 12x + 18 - 2x^2 + 12x}{(x-3)^3} = \frac{18}{(x-3)^3}$

したがって、y'' = 18 / (x-3)^3となります。

(3) $y = x^3 \log x$

まず、1次導関数を求めます。積の微分法を使用します。

$y' = 3x^2 \log x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \log x + x^2$

次に、2次導関数を求めます。再び積の微分法を使用します。

$y'' = 6x \log x + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = 6x \log x + 3x + 2x = 6x \log x + 5x$

したがって、y'' = 6x log x + 5xとなります。

3. 最終的な答え

(1) $y'' = 18x - 6$

(2) $y'' = \frac{18}{(x-3)^3}$

(3) $y'' = 6x \log x + 5x$