自然数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の自然数を含むように区切る。 (1) 第$n$群の最初の自然数を求める。 (2) 500が第何群の第何項かを求める。 (3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の自然数を含むように区切る。

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

第$n-1$群までの項数の合計を$S_{n-1}$とすると、第$n$群の最初の数は$S_{n-1}+1$となる。

$S_{n-1}$は、初項1、公比2の等比数列の第$n-1$項までの和なので、

$S_{n-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1}-1$

したがって、第$n$群の最初の数は

$S_{n-1}+1 = 2^{n-1}-1+1 = 2^{n-1}$

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

500が第$n$群に含まれるとすると、

$2^{n-1} \le 500 < 2^n$

$2^8 = 256$、 $2^9 = 512$なので、$n = 9$

したがって、500は第9群に含まれる。

第8群までの項数の合計は$S_8 = 2^8-1 = 255$

500は自然数の中で500番目なので、第9群の中では$500-255 = 245$番目となる。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$であり、第$n$群には$2^{n-1}$個の数がある。

したがって、第$n$群の最後の数は$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$となる。

第$n$群の和は、初項$2^{n-1}$、末項$2^n-1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和として求められる。

$S_n = \frac{2^{n-1}(2^{n-1}+2^n-1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1}+2^n-1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の自然数: $2^{n-1}$

(2) 500は第9群の第245項

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和: $2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$