初項が2、公差が6である等差数列 $\{a_n\}$ がある。この数列の奇数番目のみを取り出してできる数列 $\{b_n\}$ について、以下の問いに答える。 (1) 数列 $\{b_n\}$ はどのような数列か。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

初項が2、公差が6である等差数列 $\{a_n\}$ がある。この数列の奇数番目のみを取り出してできる数列 $\{b_n\}$ について、以下の問いに答える。

(1) 数列 $\{b_n\}$ はどのような数列か。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の奇数番目を取り出した数列 $\{b_n\}$ を考える。

数列 $\{a_n\}$ は、初項が2、公差が6の等差数列なので、一般項は

$a_n = 2 + (n-1)6 = 6n - 4$

$\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ の奇数番目のみを取り出した数列なので、

$b_n = a_{2n-1}$ となる。

$b_n = a_{2n-1} = 6(2n-1) - 4 = 12n - 6 - 4 = 12n - 10$

数列 $\{b_n\}$ の隣接する項の差を計算すると、

$b_{n+1} - b_n = (12(n+1) - 10) - (12n - 10) = 12n + 12 - 10 - 12n + 10 = 12$

したがって、数列 $\{b_n\}$ は公差12の等差数列である。

(2) 数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 = 2$ であり、公差12の等差数列である。

したがって、一般項は

$b_n = 2 + (n-1)12 = 2 + 12n - 12 = 12n - 10$

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{b_n\}$ は公差12の等差数列である。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = 12n - 10$ である。