(1) $3 - \sqrt{3}$ の小数部分 $b$ の値を求めよ。 (2) 不等式 $2x - 3\sqrt{5} \leq \sqrt{5}x + 1$ を解け。

1. 問題の内容

(1) $3 - \sqrt{3}$ の小数部分 $b$ の値を求めよ。

(2) 不等式 $2x - 3\sqrt{5} \leq \sqrt{5}x + 1$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ の近似値を考えます。$1^2 = 1$, $2^2 = 4$ より $1 < \sqrt{3} < 2$ であることがわかります。より正確に評価すると、$1.7^2 = 2.89$、$1.8^2 = 3.24$ より、 $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ です。したがって、$3 - 1.8 < 3 - \sqrt{3} < 3 - 1.7$ なので $1.2 < 3 - \sqrt{3} < 1.3$ となります。

$3-\sqrt{3}$ の整数部分を $a$ とすると、$a=1$ であることがわかります。よって、小数部分 $b$ は、$b = (3 - \sqrt{3}) - 1 = 2 - \sqrt{3}$ となります。

(2) 不等式 $2x - 3\sqrt{5} \leq \sqrt{5}x + 1$ を解きます。

まず、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$2x - \sqrt{5}x \leq 1 + 3\sqrt{5}$

$x(2 - \sqrt{5}) \leq 1 + 3\sqrt{5}$

ここで、$2 - \sqrt{5}$ は負の数であることに注意します。（なぜなら $2 = \sqrt{4}$ であり、$\sqrt{4} < \sqrt{5}$ であるから）したがって、$2 - \sqrt{5}$ で割るときは不等号の向きが変わります。

$x \geq \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分母分子に $2 + \sqrt{5}$ をかけます。

$x \geq \frac{(1 + 3\sqrt{5})(2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})}$

$x \geq \frac{2 + \sqrt{5} + 6\sqrt{5} + 15}{4 - 5}$

$x \geq \frac{17 + 7\sqrt{5}}{-1}$

$x \geq -17 - 7\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 2 - \sqrt{3}$

(2) $x \geq -17 - 7\sqrt{5}$