実数 $x, y$ が $2x+3y=3$ を満たすとき、$4^x + 8^y$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $2x+3y=3$ を満たすとき、$4^x + 8^y$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、条件式 $2x+3y=3$ から $2x = 3 - 3y$ なので、$x = \frac{3-3y}{2}$ となる。

$4^x + 8^y$ に代入して、$y$ の関数にする。

$4^x + 8^y = 4^{\frac{3-3y}{2}} + 8^y = (2^2)^{\frac{3-3y}{2}} + (2^3)^y = 2^{3-3y} + 2^{3y} = 2^3 \cdot 2^{-3y} + 2^{3y} = 8 \cdot (2^{3y})^{-1} + 2^{3y}$

ここで、$t = 2^{3y}$ とおくと、$t > 0$ であり、

$f(t) = 8t^{-1} + t = \frac{8}{t} + t$

相加相乗平均の関係より、

$\frac{8}{t} + t \geq 2 \sqrt{\frac{8}{t} \cdot t} = 2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

等号が成立するのは $\frac{8}{t} = t$ のときなので、$t^2 = 8$ となり、$t = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ($t>0$ より)

$t = 2^{3y} = 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ より、$3y = \frac{3}{2}$ となり、$y = \frac{1}{2}$

$x = \frac{3 - 3y}{2} = \frac{3 - 3(\frac{1}{2})}{2} = \frac{3 - \frac{3}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$

よって、$x = \frac{3}{4}, y = \frac{1}{2}$ のとき、$4^x + 8^y$ は最小値 $4\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{4}, y = \frac{1}{2}$ で最小値 $4\sqrt{2}$ をとる。