与えられた5つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で答えなさい。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた5つの数式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$

* 分母が共通なので、分子をまとめます。

$\frac{x^2+4-4x}{x-2}$

* 分子を因数分解します。

$\frac{(x-2)^2}{x-2}$

* 約分します。

$x-2$

(2) $\frac{3}{x(3-x)} + \frac{x}{3(x-3)}$

* 分母を揃えるために、$\frac{x}{3(x-3)}$の分母と分子に$-1$を掛けます。

$\frac{3}{x(3-x)} - \frac{x}{3(3-x)}$

* 通分します。共通の分母は、$3x(3-x)$です。

$\frac{3 \cdot 3}{3x(3-x)} - \frac{x \cdot x}{3x(3-x)}$

* 分子をまとめます。

$\frac{9-x^2}{3x(3-x)}$

* 分子を因数分解します。

$\frac{(3-x)(3+x)}{3x(3-x)}$

* 約分します。

$\frac{3+x}{3x}$

(3) $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$

* 通分します。共通の分母は$(a+b)(a-b)$です。

$\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)}$

* 分子をまとめます。

$\frac{a^2-ab+ab+b^2}{(a+b)(a-b)}$

* 分子を整理します。

$\frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)}$

(4) $\frac{2x-1}{x^2-x-6} - \frac{2x+1}{x^2+x-12}$

* 分母を因数分解します。

$\frac{2x-1}{(x-3)(x+2)} - \frac{2x+1}{(x+4)(x-3)}$

* 通分します。共通の分母は$(x-3)(x+2)(x+4)$です。

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x-3)(x+2)(x+4)} - \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)(x+4)}$

* 分子をまとめます。

$\frac{(2x^2+8x-x-4)-(2x^2+4x+x+2)}{(x-3)(x+2)(x+4)}$

* 分子を整理します。

$\frac{2x^2+7x-4-2x^2-5x-2}{(x-3)(x+2)(x+4)}$

$\frac{2x-6}{(x-3)(x+2)(x+4)}$

* 分子を因数分解します。

$\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)(x+4)}$

* 約分します。

$\frac{2}{(x+2)(x+4)}$

(5) $\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

* 分母を因数分解します。

$\frac{x-2}{(2x-3)(x-1)} + \frac{3x-1}{(2x-3)(x+2)} + \frac{2x-5}{(x+2)(x-1)}$

* 通分します。共通の分母は$(2x-3)(x-1)(x+2)$です。

$\frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{(3x-1)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{(2x-5)(2x-3)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

* 分子をまとめます。

$\frac{(x^2-4)+(3x^2-4x+1)+(4x^2-16x+15)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

* 分子を整理します。

$\frac{8x^2-20x+12}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

* 分子を因数分解します。

$\frac{4(2x^2-5x+3)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

$\frac{4(2x-3)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

* 約分します。

$\frac{4}{x+2}$

3. 最終的な答え

(1) $x-2$

(2) $\frac{3+x}{3x}$

(3) $\frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)}$

(4) $\frac{2}{(x+2)(x+4)}$

(5) $\frac{4}{x+2}$